ÁREAS Y PERÍMETROS DE UNA FIGURA

  ÁREAS Y PERÍMETROS DE UNA FIGURA

Cuando localizamos puntos en un plano cartesianos, nos podemos dar cuenta que es posible unir los puntos y como resultado nos da una figura, y como tal tiene área y perímetro.

Sea A1 , A2 , A3 , ........, An un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido
antihorario, tiene como coordenadas :
,
,
,........,
Entonces el área de la región poligonal
correspondiente, es el valor absoluto de la expresión :


.....(1)

Llamada también formula determinante de Gauss
Obsérvese en la determinante se repite , al final, el primer par ordenado
correspondiente
a la coordenada de
.
La forma de resolver esta determinante es la siguiente:

I D

De donde :


Luego el valor de la determinante estará dada por :


....(2)
Por lo tanto sustituyendo (2) en (1) :

....(3)
Notas :
a) La elección del primer vértice en el polígono es completamente arbitrario.
b) La expresión (3) es aplicable inclusive a figuras no convexas (cóncavas)
Ejercicio de aplicación :
Hallar el área de la región pentagonal cuyos vértices son:
,
,

y
Solución:
Hacemos un gráfico aproximado :

Elijamos como primer vértice al par ordenado
luego:


Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:






Reemplazando estos valores en (1) :


Resolvamos la determinante de acuerdo a la teoría :
I D
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:





Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Por lo tanto :




Calculo del área de un triángulo dado por sus coordenadas.
,
,
Haciendo un gráfico:
Elijamos como primer vértice al par ordenado
luego:

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:




Reemplazando estos valores en (1):


Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto anteriormente :

I D

Luego los valores de D y de I respectivamente serán:



Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Por lo tanto :


Calcular el área de una región hexagonal no convexa (cóncava) cuyos vértices son:

,
,
,
,
,
.
Al igual que en los demás casos dibujemos un gráfico aproximado del hexágono no convexo
Elijamos como primer par ordenado
luego:

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:






Reemplazando estos valores en (1) :



Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto en la teoría:
I D
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:





Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Por lo tanto :

Trabajos

Nosotros realizamos una serie de ejercicios relacionados con el tema, también contienen, sobre distancia entre dos puntos, localizar  un punto en una grafica cartesiana y de sacar el área a una figura trazada en un plano.
Aquí se los mostramos