DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma
especie, se llama razón o relación de dichas cantidades. Las razones o
relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas.
La razón por cociente o geométrica es el resultado de la
comparación de dos cantidades homogéneas con el objeto de saber cuántas veces
la una contiene a la otra
.
Observación: En geometría
analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata
de segmentos de recta dirigidos.
Consideramos los puntos A(X1,Y1) y B(X2, Y2) los extremos de
una recta. Sea P(X, Y) el punto de
división que se encuentra entre la recta, como se indica en la figura:
Por su diferencia de segmentos se obtienen los valores de
los catetos de dos triángulos rectángulos formados:
El punto P(X, Y) divide el segmento en la relación , como AB
y PB mismo sentido el valor de r será positivo,
Si el punto P(X, Y) se encuentra fuera de los extremos A y B
en el sentido de AP y PB serían opuestos y el valor de r será negativo como se
indica en la figura siguiente:
Considerando los triángulos semejantes formados tendremos
una relación de hipotenusas y catetos de la siguiente manera:
Despejando
a X;
,
,
factorizando 
por lo tanto: 
Análogamente:
despejando
Y;
,
,
,
factorizando
,
por lo tanto:
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